Наверх
Ночной режим

Портфельная теория Марковица: основы и пример подсчета доходности

Время чтения: 10 минут
16703
Ночной режим

Любые вложения денег сопровождаются рисками. Их степень определяется конечным доходом. Если он высокий, то риски тоже высокие. Инвесторы и трейдеры рынка ценных бумаг мечтают добиться максимальной доходности при минимальных рисках. Соотношению этих двух параметров уделяется много внимания.

Выдающиеся математики-экономисты пытаются найти «золотую середину». Но их расчеты приводят лишь к выявлению определенных догм. Например, выбор подходящего времени для размещения свободных средств (покупки активов) не имеет ключевого значения. Почти 90% дохода зависит от оптимального распределения денег.

Игроки фондового рынка создают портфели и покупают разные ценные бумаги. Они вкладывают в многочисленные активы, тем самым уменьшая риск потери всего капитала. Этот принцип подробно описан в десятках портфельных теорий. Все они основаны на научной работе известного экономиста Гарри Марковица.

Краткая история

История метода Марковица

В 1950-1951 годах Марковиц работал над докторской диссертацией по экономике. В процессе написания научного труда у него появилась идея диверсификации (распределения) капитала при инвестировании. Она легла в основу будущей портфельной теории Марковица.

В 1952-м году была опубликована статья скромного аспиранта в «Финансовом журнале». Называлась она – «Выбор портфеля». В ней Гарри предложил математический способ формирования портфеля.

Он обозначил определенные условия рынка, при которых его методы позволят построить оптимальный портфель (с максимальной доходностью и минимальными рисками). В него должны входить активы, которые между собой слабо коррелируют (практически не имеют взаимной связи).

Главная заслуга аспиранта заключалась в следующем – он предложил перевести процесс выбора инвестиционного портфеля в плоскость формальной математики. Обозначил прямую связь между понятиями риска и доходности.

Следующие 7 лет экономист занимался развитием и усовершенствованием своей теории. В 1959-м году он опубликовал монографию. В ней были описаны основные положения статьи, размещенной в 1952-м году в «Финансовом журнале». В 1990-м Марковиц был удостоен Нобелевской премии за теорию портфельных инвестиций.

Удивительно, но этот человек получил признание только спустя 40 лет после своего экономического открытия. Многие связывают это с тем, что только в начале девяностых появились компьютеры. С их помощью удалось оценить эффективность математического (вероятностного) подхода к формированию оптимального портфеля.

Насколько важно диверсифицировать портфель?

Диверсификация портфеля

Диверсификация подразумевает включение разных видов активов в инвестиционный портфель. Такой подход помогает выстроить оптимальную структуру ценных бумаг. Способствует снижению уровня финансовых рисков. Позволяет увеличить доход в краткосрочной и долгосрочной перспективе.

За счет распределения свободных средств удается избежать серьезной финансовой просадки в момент падения стоимости определенных активов, входящих в портфель. Например, цена акций компании начала падать. По этому активу инвестор ушел в минус, но смог компенсировать убытки благодаря росту стоимости акций других компаний.

Эксперты считают, что диверсифицированным можно считать портфель, в котором собрано от 8-ми до 20-ти финансовых инструментов (активов). Например:

  • ценные бумаги;
  • ПИФ-ы;
  • драгоценные металлы;
  • объекты недвижимости;
  • ETF индексы.

Как видите, диверсификация является важнейшим этапом в формировании оптимального портфеля. Модель Марковица опирается именно на нее.

Эффективная граница — что это такое?

При формировании портфеля инвестору (трейдеру) нужно определить пропорцию разных активов (долю каждого вида финансового инструмента). Предположим, что у него 100% облигаций в портфеле. Если он добавит акции, то доходность возрастёт вместе с рисками. Чем больше доля акций в портфеле, тем выше риски. Но как найти «золотую середину»? С помощью эффективной границы.

Это набор портфелей с оптимальными пропорциями активов, которые позволят получить максимальную прибыль при минимально возможных рисках. Нет портфелей, которые имели такое соотношение дохода-риска, которое бы выводило их выше эффективной границы. Но зато существуют те, которые находятся ниже ее (они либо чересчур рискованные, либо не приносят ожидаемый уровень прибыли).

Эффективная граница портфеля Марковица

На каких формулах и расчетах строится метод Марковица? Он рассчитан на решение двух главных задач – достигнуть предельной доходности при заданном уровне риска и добиться минимальных рисков при низком пределе доходности. Строится метод на следующих формулах:

Формула

где: rp – это ожидаемая доходность сформированного портфеля, wi – доля конкретного актива, ri – доходность актива за определенный период, n- количество разных активов. Получается, что ожидаемая доходность всего портфеля зависит от суммы доходностей каждого актива, входящего в него.

Формула

где: σp – это риск всего портфеля, σi – стандартный показатель отклонения уровня доходности i-актива, kij – коэффициент соотношения (корреляции) двух активов (i,j), wi – доля i-актива в портфеле, Vij – совместное изменение доходности двух активов (ковариация), n – количество активов, входящих в портфель инвестора.

Пример подсчета ожидаемой доходности по формуле Марковица в Excel

Согласно рассматриваемой теории, оптимальным считается портфель, в котором собраны разные группы активов. Например, облигации, фьючерсы, акции, индексы, опционы. Диверсификация минимизирует риски и позволяет выявить отрицательные взаимные соотношения (корреляции). Для лучшего понимания вышеописанных формул проведем простые расчеты.

Дано: портфель с акциями американских компаний, представляющих разные сегменты рынка – Visa, Macys, AT&T, Apple.

  1. Действие первое – необходимо выгрузить в Excel котировки акций этих компаний за весь прошлый год. Действие второе – нужно посчитать доходность каждого актива. Имеется в виду изменения его стоимости на протяжении 12-ти месяцев. Дивиденды тут не учитываются.
  2. Цены активов выгружены в виде таблицы. Напротив каждой строки с месяцем есть строка со стоимостью. Необходимо определить доходность по каждому месяцу с помощью формулы натурального логарифма в Эксель.Например, в июне 2021 года цена акции Visa была равна 200 рублей, а в июле она составила 205 рублей. Нужно второй значение разделить на первое – получится 2,5%. Это доходность за июль. Аналогичным образом нужно посчитать по другим месяцам. Это касается и активов других компаний.
  3. Далее нужно высчитать среднее значение доходности за год. Прибавьте все проценты доходности за каждый месяц и разделите на 12. Выполните эту процедуру относительно каждого актива, входящего в портфель. К примеру, ожидаемый доход акций компании AT&T оказался отрицательным. Нужно убрать этот актив из портфеля.
  4. Теперь необходимо определить уровень риска каждой акции, используя функционал Excel. Для этого следует воспользоваться формулой стандартного отклонения. Выберите ее в меню Эксель и выделите столбец с ценами актива за год. Система сама посчитает уровень риска.
  5. Следующий шаг – расчет ковариации акций, собранных в портфель. В Excel есть специальная надстройка, которая поможет нам на этом этапе. Нужно открыть вкладку «Данные» и выбрать пункт «Анализ данных» и найти в предложенном списке команду «Ковариация». Откроется окно, в котором следует указать ячейки с ежемесячными ценами определенного актива и выбрать группировку по столбцам.
  6. После определения ожидаемой доходности каждой акции, можно переходить к расчету ожидаемой доходности всего портфеля, который состоит из этих активов. Для этого необходимо определить доли акций трех американских компаний, собранных в портфеле. Напомним, что активы четвертой компании мы убрал, так как у них отрицательная доходность за год.
    Допустим, что доля акций Visa в портфеле составляет 25%, акций Macys – 25%, Apple – 50%. Нужно определить средневзвешенный показатель доходности акции каждой компании. Формула простая:
    (Ожидаемая доходность Visa * ковариация Visa) + (Ожидаемая доходность Macys * ковариация Macys) + (Ожидаемая доходность Apple * ковариация Apple).
  7. Теперь необходимо определить общий риск портфеля. В Экселе есть формула массива – КОРЕНЬ (МУМНОЖ(МУМНОЖ(доля Visa в портфеле : доля Apple; ковариация Visa : ковариация Apple); доля Visa : доля Apple)).

Пример оптимизации портфеля

Рей Далио разработал стратегию всепогодного портфеля. Она одна из самых надежных и известных. На ее принципах были построены фонды OPNW и TRUR. Классический всепогодный портфель легко воссоздается за счет пяти индексных фондов (ETF) – GLD (с портфельной долей 7,5%), DBC (с долей 7,5%), IEF (15%), TLT (40%), VTI (30%).

Чтобы понять наглядно суть стратегии Рея Далио, нужно подробно изучить всепогодный портфель. В частности, его изменения за последние десять лет, без учета инфляции.

Название ETF Показатель доходности Предельная просадка Корреляция с индексом S&P 500 Коэффициент Уильяма Шарпа
VTI 13,37% −20,84% 1 0,92
TLT 8,32% −18,03% −0,42 0,64
IEF 4,54% −7,6% −0,4 0,73
DBC −6,37% −64,83% 0,57 −0,34
GLD 1,87% −42,91% 0,08 0,16

 

Самый слабый фонд DBC. Размер ежегодного убытка по нему составил 6,37%, а взаимозависимость с бенчмарком (показатель с образцовой доходностью) составила 0,57. Такая корреляция чересчур большая. У других диверсификаторов нет такого значения.

Нужно модифицировать всепогодный портфель, убрав DBC и добавив XLU. Этот фонд выбран по причине более привлекательных показателей. Итог оптимизации всепогодного портфеля: GLD (с портфельной долей 7,5%), XLU (с долей 7,5%), IEF (15%), TLT (30%), VTI (40%).

Преимущества метода Марковица

Эта модель позволяет применить систематизированный подход к составлению инвестиционного портфеля. На основании несложных математических формул и опцией Excel можно высчитать оптимальную пропорцию активов. Другие плюсы метода:

  • он не сложный для понимания (начинающий инвестор/трейдер быстро разберётся во всех нюансах);
  • подходит для разных видов активов – индексы, фьючерсы, облигации, недвижимость, деривативы, акции, опционы;
  • позволяет определить не единственный оптимальный вариант формирования портфеля, а множество вариантов, которые помогут заработать максимально много при минимальных рисках;
  • обеспечивает стабильность и структурированность активов;
  • избавляет от высоких рисков – финансовые инструменты, собранные в портфеле по методу Марковица не могут быть задействованы в спекуляциях.

Модель 1959 года остается актуальной и по сегодняшний день. Правда в оригинальном виде она уже не применяется. Ее совершенствовали и приспособили к современным реалиям.

Недостатки теории

Теория портфелей, предложенная Гарри Марковицем, имеет свои минусы. О некоторых из них вы уже наверно догадались при изучении процесса расчета ожидаемой доходности акций американских компаний. Итак, недостатки теории:

  1. Она рассчитана для рынка, на котором постоянно растут котировки финансовых инструментов и отсутствуют ощутимые колебания курса. Подобные процессы характерны для экономики прошлых лет. Сегодня рынок более неустойчив в этом плане. Следовательно, показатель корреляции активов регулярно меняется. Это не уменьшает уровень рисков портфеля.
  2. Модель Марковица определяет потенциальную прибыль с активов, как среднеарифметическое значение. Учитываются только исторические котировки финансовых инструментов. При этом не берутся во внимание многочисленные макроэкономические факторы – инфляция, изменение отраслевых цен, уровень ВВП страны и др. А также микроэкономические факторы – рентабельность, бизнес-деятельность компании, ликвидность акций.
  3. Риски определяются исходя из степени изменения доходности по отношению к среднеарифметическому значению.

Последователи Марковица смогли решить многие недостатки его теории. Ими стали опытные экономисты – Сортино, Трейнор, Швагер, Модильяни и Шарп.

Дополнения теории Марковица

Экономист Уильям Шарп ввел такие понятия, как несистематический и систематический риск. Первый распространяется на отдельно взятый актив, а второй – на весь рынок. Также он предложил более эффективную альтернативу процессу вычисления корреляции финансовых инструментов, входящих в портфель. Суть предложения – считать взаимозависимость для одного конкретного актива и для рынка.

На практике для объективной оценки рынка ценных бумаг применяются специальные индексы. А взаимосвязь определяется методом расчета Бета-коэффициента. Что это такое? Отношение ковариации доходности всего рынка/одного актива к стандартному рыночному отклонению (значение возводится в квадрат). Подобное нововведение существенно упростило процесс расчета риска и дохода портфеля.

Бета-коэффициент – это показатель, обозначающий направление/амплитуду движения актива по отношению к широкому рынку. Под последним понимают значение, определяющее текущее состояние экономики страны. Например, индекс S&P500 покрывает 80% всей капитализации рынка США. По нему можно понять текущее положение дел в экономике этого государства.

На этом Уильям Шарп не остановился. Он смог понять, как нужно сравнивать портфели, у которых разные показатели доходности и риска. Значение, полученное путем такого сравнения, он назвал коэффициентом Шарпа. Чем выше коэффициент, тем выгоднее инвестиционный портфель.

Коэффициент Шарпа

Джек Трейнор также внес свою лепту в совершенство теории Марковица. Он предложил убрать из формулы Гарри значение риска портфеля и использовать вместо него Бета-коэффициент. Суть изменения – инвестор может справиться с несистематическим риском путем дополнительной диверсификации, поэтому следует учитывать в расчетах только систематические риски (то есть, Бета-коэффициент).

Формула теории Марковица

Ф. Сортино предложил брать во внимание исключительно падение котировок активов. При этом стандартные отклонения инвестиционных убытков должны заменить общее отклонение. Ввел в расчет собственный коэффициент. Он определяет причины сверхнормативной доходности – был принят излишний риск при подсчетах или была применена профессиональная инвестиционная идея.

Заключение

Портфельные инвестиции – это самый популярный и финансово выгодный формат вложения свободных денег в активы. Задача трейдера/инвестора сводится к правильному выбору финансовых инструментов. Также ему нужно выстроить правильную структуру портфеля. Это поможет минимизировать риски и увеличить доходность.

Для формирования структуры портфеля нужно воспользоваться формулами Марковица, которые были усовершенствованы современными экономистами. Весь процесс расчетов можно осуществлять в Excel. Эту процедуру нужно повторять с определённой периодичностью, так как рынок изменчив. Главное, владеть входными данными и правильно понимать полученные результаты подсчетов.

 

Добавить комментарий

Ваше имя
*
code

15.02.2022
Поделиться:
Курсы криптовалют
Брокеры
Популярные статьи

Курсы валют

Доллар USD (ЦБ): 92.63 -0.12
Евро EUR (ЦБ): 100.18 -0.26
Доллар USD (MOEX): 92.12 -0.23
Евро EUR (MOEX): 100.04 0.00